Hipotezė apie proporciją mažoms imtims

Tarkime, kad stebime binominį atsitiktinį dydį $X\sim{B(1,p)}$ su nežinomu parametru $p$ . Atsitiktinę imtį sudaro nepriklausomi atsitiktiniai dydžiai ${(X_{1}, X_{2},...,X_{n})}$ , turintys tą patį skirstinį kaip ir X. Imties elementų suma $S_{n}$ turi binominį skirstinį su parametrais $n$ ir $p$ , t.y.

$S_{n}=X_{1}+X_{2}+...+X{n}\sim{B(n,p)}$ .

Nagrinėjamo uždavinio sprendimo etapai:

Duomenys.Dvireikšmių duomenų aibę sudaro nuliai (matuotos savybės nerasta) ir vienetai (matuota savybė rasra).

Statistinė hipotezė.

$H_{0}:p=a,\\H_{1}:p\neq{a}.$

Kriterijaus statistika. Apskaičiuojame

$P(S_{n}\geq{m})$ ir $P(S_{n}\leq{m})$ ,

čia $S_{n}\sim{B(n,a)}$ , o $m$ yra imties vienetų skaičius.

Sprendinio priėmimo taisyklė. Tegul reikšmingumo lygmuo lygus $\alpha$ . Hipotezė $H_{0}$ atmetama (taigi $p$ statistiškai skiriasi nuo $a$ ), jeigu $P(S_{n}\geq{m})<\frac{\alpha}{2}$ arba $P(S_{n}\leq{m})<\frac{\alpha}{2}$ . Kitais atvejais $H_{0}$ atmetama.

Pavyzdys. Kauliuką metus 9 kartus, vieną kartą atsivertė 6 akutės. Ar galime teigti, kad 6 akučių atsivertimo tikimybė nelygi 1/6? ( $\alpha={0,05}$ .)

Sprendimas. Statistinė hipotezė:

$H_{0}:p=1/6,\\H_{1}:p\neq{1/6}.$

Kadangi $n=9$ , o $a=1/6$ , tai $X\sim{B(9;1/6)}$ , kai $H_{0}$ teisinga. Randame

$P(S_{n}\geq{1})=1-P(S_{n}=0)=1-(5/6)^{9}=0,806,$

$P(S_{n}\leq{1})=P(S_{n}=0)+P(S_{n}=1)=(5/6)^{9}+9(1/6)(5/6)^{8}=0,542.$

Kadangi nė viena iš apskaičiuotųjų tikimybių nėra mažesnė už 0,025, tai $H_{0}$ atmetame. Taigi negavome patvirtinimo, kad 6 akučių atsivertimo tikimybė nelygi 1/6. Jeigu vis dėlto įtariame kauliuko asimetriją, bandymą turėtume kartoti daugiau kartų.

Išvada. Didelėms imtims toks kriterijus netinkamas, nes skaičiavimų apimtys labai didelės.

Žymos: Statistika Pas Algirdas Javtokas

This entry was posted on 9 lapkričio, 2009 at 6:36 pm and is filed under Uncategorized. You can follow any responses to this entry through the RSS 2.0 feed. You can leave a response, or trackback from your own site.

Vienas atsakymas to “Hipotezė apie proporciją mažoms imtims”

aumo6425 Says:
25 lapkričio, 2009 9:43 pm | Atsakyti
Vienpusėms alternatyvoms naudojamos tos pačios tikimybės, tik jos lyginamos su $alpha$ . Sprendimo taisyklės, esant skirtingoms alternatyvoms, pateikiamos tam tikroje lentelėje.

Meskevicius's Blog